Question

13．证明：设三角形的外接圆的半径是R，则
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC．

Answer 1

分析 对于Rt△ABC，可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sin9{0}^{°}}$=c=2R，即可证明．对于锐角△ABC：作出直径CD，连接AD，则∠D=∠B，∠CAD=Rt∠．在Rt△ACD中，$\frac{b}{sinD}$=CD=2R=$\frac{b}{sinB}$，可得：b=2RsinB，同理可得：a=2RsinA，c=2RsinC．对于钝角△ABC，同理可证．

解答 证明：对于Rt△ABC，可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sin9{0}^{°}}$=c=2R，可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC．
对于锐角△ABC：作出直径CD，连接AD，则∠D=∠B，∠CAD=Rt∠．
在Rt△ACD中，$\frac{b}{sinD}$=CD=2R=$\frac{b}{sinB}$，∴b=2RsinB，同理可得：a=2RsinA，c=2RsinC．
对于钝角△ABC，同理可证．
综上可得：对于任意三角形都有：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC．

点评 本题考查了正弦定理及其三角形外接圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．