Question

已知O是线段AB外一点，若，．
（1）设点A₁、A₂是线段AB的三等分点，△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次为G₁、G₂、G₃，试用向量、表示；
（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意画出图形由于点A₁、A₂是线段AB的三等分点，又由于△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次为G₁、G₂、G₃，利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量、表示；
（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．
解答：解：（1）如图：点A₁、A₂是线段AB的三等分点，，同理可得：，，
则
=
=
（2）层次1：设A₁是AB的二等分点，则；；
设A₁、A₂、A₃是AB的四等分点，则；
或设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，则，
层次2：设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，
，
层次3：设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，
则；
证：
=
=
=
点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法和减法，还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力．