Question

mn＜0是方程

x2

m

+

y2

n

=1表示实轴在x轴上的双曲线的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0两种情况加以讨论，可得mn＜0时，方程

x2

m

+

y2

n

=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．反之当方程

x2

m

+

y2

n

=1表示实轴在x轴上的双曲线时，必定有mn＜0．由此结合充要条件的定义，即可得到本题答案．

解答：解：当mn＜0时，分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0两种情况
①当m＜0、n＞0时，方程

x2

m

+

y2

n

=1表示焦点在y轴上的双曲线；
②当m＞0、n＜0时，方程

x2

m

+

y2

n

=1表示焦点在x轴上的双曲线
因此，mn＜0时，方程

x2

m

+

y2

n

=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．
而方程

x2

m

+

y2

n

=1表示实轴在x轴上的双曲线时，m＞0、n＜0，必定有mn＜0
由此可得：mn＜0是方程

x2

m

+

y2

n

=1表示实轴在x轴上的双曲线的必要而不充分条件
故选：B

点评：本题给出两个条件，判断方程表示焦点在x轴上双曲线的充要条件．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、充要条件的判断等知识，属于中档题．