Question

P₁，P₂，…，P_n…顺次为函数y=

1

x

 (x＞0)图象上的点（如图）Q₁，Q₂，…，Q_n…顺次为x轴上的点，且△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…，△Q_n-1P_nQ_n…均为等腰直角三角形（其中P_n为直角顶点），设Q_n的坐标为（x_n，0）（n∈N₊），则数列{x_n}的通项公式为

xn=2

n

．

Answer 1

分析：利用△Q_n-1P_nQ_n为等腰直角三角形，且P_n为直角顶点，求出P_n点的横纵坐标，再根据P_n点为函数y=

1

x

 (x＞0)图象上的点，坐标满足函数y=

1

x

(x＞0)的解析式，就可得到含x_n-1，x_n的等式，即数列{x_n}的递推公式，再根据递推公式求出数列{x_n}的通项公式即可．

解答：解：过P_n点作P_nH⊥x轴，垂足为H，
∵△Q_n-1P_nQ_n为等腰直角三角形，且P_n为直角顶点，
∴|PnH|=

1

2

|Qn-1Qn|=

xn-xn-1

2

，
∴P_n点的纵坐标为

xn-xn-1

2

∵△Q_n-1P_nQ_n为等腰直角三角形，且P_n为直角顶点，
∴H点为线段Q_n-1Q_n的中点，
∴H点横坐标为

xn+xn-1

2

∵P_nH⊥x轴，∴P_n点的横坐标也为

xn+xn-1

2

，
∵P_n点为函数y=

1

x

 (x＞0)图象上的点，
∴Pn(

xn+xn-1

2

，

2

xn+xn-1

)
∴

2

xn+xn-1

=

xn-xn-1

2

∴x_n²-x_n-1²=4∴x_n²=x₁²+4（n-1）=4n
∴xn=2

n

故答案为xn=2

n

点评：本题是函数与数列的综合，根据点在函数图象上，以及点之间的关系，找到坐标之间的关系，即数列的递推公式，再由递推公式求通项公式，属于综合题．