Question

18．已知函数$f（x）=（x+3-\frac{a}{2}）（{e^x}-a）$，若x∈（0，1）时f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是[e，6]．

Answer 1

分析 令g（x）=$x+3-\frac{a}{2}$，h（x）=e^x-a，由函数g（x），h（x）均为（0，1）上的增函数求出两函数的值域，结合要使x∈（0，1）时f（x）＜0恒成立，则在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x），把问题转化为$\left\{\begin{array}{l}{g（x）＜0}\\{h（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（x）＞0}\\{h（x）＜0}\end{array}\right.$在x∈（0，1）时恒成立．分别求出两不等式的解集，取并集得答案．

解答 解：令g（x）=$x+3-\frac{a}{2}$，h（x）=e^x-a，
则函数g（x）=$x+3-\frac{a}{2}$，h（x）=e^x-a均为（0，1）上的增函数，
当x∈（0，1）时，g（x）∈（3-$\frac{a}{2}，4-\frac{a}{2}$）；h（x）∈（1-a，e-a），
要使x∈（0，1）时f（x）＜0恒成立，则在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x），
∴要使x∈（0，1）时f（x）＜0恒成立，则
$\left\{\begin{array}{l}{g（x）＜0}\\{h（x）＞0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{g（x）＞0}\\{h（x）＜0}\end{array}\right.$②在x∈（0，1）时恒成立．
由①得：$\left\{\begin{array}{l}{4-\frac{a}{2}≤0}\\{1-a≥0}\end{array}\right.$，解得a∈∅；
由②得：$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{a}{2}≥0}\\{e-a≤0}\end{array}\right.$，解得e≤a≤6．
综上，实数a的取值范围是：[e，6]．
故答案为：[e，6]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了函数值域的求法，考查数学转化思想方法，明确要使x∈（0，1）时f（x）＜0恒成立，则在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x）是解答该题的关键，是中档题．