Question

7．已知数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$，其中，k∈N^*，设f（n）=a₁+a₂+a₃+a₄+…+${a}_{{2}^{n}-2}$+${a}_{{2}^{n}-1}$+${a}_{{2}^{n}}$，则f（2016）-f（2014）的值为4²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 由递推公式得到f（n）-f（n-1）=4^n-1，由此能求出f（2016）-f（2014）的值．

解答 解：∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$，其中，k∈N^*，f（n）=a₁+a₂+a₃+a₄+…+${a}_{{2}^{n}-2}$+${a}_{{2}^{n}-1}$+${a}_{{2}^{n}}$，
∴f（2）-f（1）=a₁+a₂+a₃+a₄-（a₁+a₂）=a₃+a₄=3+1=4，
f（3）-f（2）=a₅+a₆+a₇+a₈=5+3+7+1=4²
f（4）-f（3）=a₉+a₁₀+…+a₁₆=9+5+11+3+13+7+15+1=64=4³
…
∴f（n）-f（n-1）=4^n-1，
∴f（2016）-f（2014）=4²⁰¹⁴．
故答案为：4²⁰¹⁴．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式和归纳总结的合理运用．