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已知抛物线C的顶点在原点,焦点坐标为F(2,0),点P的坐标为(m,0)(m≠0),设过点P的直线l交抛物线C于A,B两点,点P关于原点的对称点为点Q.
(1)当直线l的斜率为1时,求△QAB的面积关于m的函数表达式.
(2)试问在x轴上是否存在一定点T,使得TA,TB与x轴所成的锐角相等?若存在,求出定点T 的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)将抛物线C的方程y2=8x与直线l的方程y=x-m联立,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求得弦|AB|,从而可求得△QAB的面积关于m的函数表达式;
(2)将y=k(x-m)与y2=8x联立,设A(x3,y3),B(x4,y4),设点T(t,0)存在,由TA,TB与x轴所成的锐角相等可得kTA+kTB=0,利用韦达定理,即可求得t=-m.
解答:解:(1)由条件知,抛物线C的方程为y2=8x,直线l的方程为y=x-m,点Q(-m,0),
得:x2-2(m+4)x+m2=0.①
由①式判别式△>0,得m>-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(m+4),x1x2=m2
|AB|=|x1-x2|==8
又∵点Q(-m,0)到直线l1的距离d=|m|,
∴S△QAB=|m|•8=4,其中m>-2且m≠0…7
(2)方程为y=k(x-m),由得:k2x2-2(mk2+4)x+k2m2=0.②
设A(x3,y3),B(x4,y4),则x3+x4=,x3x4=m2
设点T(t,0)存在,TA,TB与x轴所成的锐角相等,kTA+kTB=0,=0,
=0,
整理得:2x3x4-(m+t)(x3+x4)+2mt=0,
∴2m2-(m+t)+2mt=0,
∴t=-m.
∴符合条件的点T存在,其坐标为T(-m,0)…15
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,着重考查曲线方程的联立,韦达定理的使用,弦长公式的应用,突出考查化归思想与方程思想,属于难题.
练习册系列答案
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精英家教网已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直线交C于另一点Q,满足PF⊥QF,且PQ与C在点P处的切线垂直?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(2010•温州一模)已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1),且过点A(2,t),
(I)求t的值;
(II)若点P、Q是抛物线C上两动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求出这个值;若不是,请说明理由.

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已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(
1
2
,0)
.(1)求抛物线C的方程; (2)已知直线y=k(x+
1
2
)
与抛物线C交于A、B 两点,且|FA|=2|FB|,求k 的值; (3)设点P 是抛物线C上的动点,点R、N 在y 轴上,圆(x-1)2+y2=1 内切于△PRN,求△PRN 的面积最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F(1,0).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)命题:“过抛物线C的焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则
|AB||FM|
为定值,且定值是2”.判断它是真命题还是假命题,并说明理;
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于抛物线的一般性命题(注,不必证明).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C的顶点在坐标原点,以坐标轴为对称轴,且焦点F(2,0).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)直线l过焦点F与抛物线C相交与M,N两点,且|MN|=16,求直线l的倾斜角.

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