Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O．求证：
（1）直线OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线性质可得OE∥PB，再根据直线和平面平行的判定定理证得OE∥平面PBC．
（2）证明PD⊥AC，BD⊥AC，再根据直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面PBD，再根据平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBD．

解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点，又因为E为PD的中点，故OE是三角形DPB的中位线，所以OE∥PB．
因为OE?平面PBC，PB?平面PBC，所以OE∥平面PBC．…（7分）
（2）因为PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD．又因为BD?平面PBD，PD?平面PBD，且BD∩PD=D，所以AC⊥平面PBD．
又因为AC?平面ACE，所以，平面ACE⊥平面PBD．   …（14分）

点评：本题直线和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．