Question

已知a∈R，
命题p：实系数一元二次方程x²+ax+2=0的两根都是虚数；
命题q：存在复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1．
试判断：命题p和命题q之间是否存在推出关系？请说明你的理由．

Answer 1

分析：利用一元二次方程根的个数与△的关系，可得实系数一元二次方程x²+ax+2=0的两根都是虚数，即△＜0，进而求出参数a的取值范围，再根据复数模的计算公式，根据复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1，可计算出命题q中参数a的取值范围，然后根据两个范围对应集合之间的关系，易判断命题p和命题q之间是否存在推出关系．

解答：解：若命题p为真，可得△=a2-8＜0?a∈(-2

2

，2

2

)；
若命题q为真，可知复平面上的圆x²+y²=4和圆（x+a）²+y²=1有交点，
于是由图形不难得到a∈[-3，-1]∪[1，3]，
若令集合A=(-2

2

，2

2

)，集合B=[-3，-1]∪[1，3]，
可知集合A和集合B之间互不包含，
于是命题p和命题q之间不存在推出关系．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，及充要条件的定义，其中求出两个命题中参数的范围，将命题之间的包含关系转化为集合之间的包含关系，是解答本题的关键．