Question

类比平面内直角三角形的勾股定理，在空间四面体P-ABC中，记底面△ABC的面积为S₀，三个侧面的面积分别为S₁，S₂，S₃，若PA，PB，PC两两垂直，则有结论

S

2 0

=

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

．

Answer 1

分析：设三个侧棱是a，b，c，可得三个侧面的面积，底面△ABC的面积，从而可得结论．

解答：解：设三个侧棱是a，b，c，则三个侧面的面积分别是

ab

2

，

bc

2

，

ac

2

．
三条底边的长为

a2+b2

，

b2+c2

，

a2+c2

，
由余弦定理，可得底面的面积是

(ab)2+(ac)2+(bc)2

2

∵底面△ABC的面积为S₀，三个侧面的面积分别为S₁，S₂，S₃，
∴

S

2 0

=

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

故答案为：

S

2 0

=

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

点评：本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．