Question

5．设min{p，q}表示p，q两者中的较小者，若函数f（x）=min{3-x，log₂x}，则f（x）的最大值为2，满足$f（x）＜\frac{1}{2}$的集合为{x|0＜x＜$\sqrt{2}$或x＞$\frac{5}{2}$}．

Answer 1

分析 利用一次函数、对数函数的图象画出函数f（x）=min{3-x，log₂x}的图象，即可得出

解答 解：令3-x=log₂x，解得x=2．如图所示，
由图象得：f（x）的最大值是2；
①当0＜x＜2时，log₂x＜3-x．由log₂x＜$\frac{1}{2}$，解得0＜x＜$\sqrt{2}$，
②当x＞2时，3-x＜log₂x．由3-x＜$\frac{1}{2}$，解得x＞$\frac{5}{2}$．
∴f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集是{x|0＜x＜$\sqrt{2}$或x＞$\frac{5}{2}$}．
故答案为2，{x|0＜x＜$\sqrt{2}$或x＞$\frac{5}{2}$}．

点评 本题考查了一次函数、对数函数的图象、新定义、不等式的解集，属于中档题．