Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{（{a}_{n}+2）•（{a}_{n+1}+2）}{{a}_{n}}$，数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为T_n，试证明：T_n＜$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）根据数列的项和和之间的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{（{a}_{n}+2）•（{a}_{n+1}+2）}{{a}_{n}}$=$\frac{2（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}{{3}^{n-1}}$，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$，累加即可求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为T_n

解答 解：（1）由题意得a_n+1=2S_n+2，a_n=2S_n-1+2，（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
则a_n+1=3a_n，n≥2，
所以当n≥2时，{a_n}是以3为公比的等比数列．
因为a₂=2S₁+2=4+2=6，满足$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$对任意正整数成立　{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式；a_n=2×3^n-1
（2）证明：b_n=$\frac{（{a}_{n}+2）•（{a}_{n+1}+2）}{{a}_{n}}$=$\frac{2（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}{{3}^{n-1}}$，
 $\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$，
T_n=$\frac{1}{4}$×[$\frac{1}{{3}^{0}+1}-\frac{1}{{3}^{1}+1}+\frac{1}{{3}^{1}+1}-\frac{1}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}$]
=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{{3}^{0}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）=\frac{1}{8}-\frac{1}{4（{3}^{n}+1）}$＜$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了数列的递推式，裂项求和，属于中档题．