Question

【题目】持续高温使漳州市多地出现气象干旱，城市用水紧张，为了宣传节约用水，某人准备在一片扇形区域（如图3）上按照图4的方式放置一块矩形ABCD区域宣传节约用水，其中顶点B，C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在 上，∠MON= ，ON=OM=10，m，设∠DON=θ，矩形ABCD的面积为S．
（Ⅰ）用含θ的式子表示DC，OB的长‘
（Ⅱ）若此人布置1m2的宣传区域需要花费40元，试将S表示为θ的函数，并求布置此矩形宣传栏最多要花费多少元钱？（精确到0.01）
（参考数据： ≈1.732， ≈1.414）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ODC中DC=10sinθ，在△OAB中，OB=10 sinθ；

（Ⅱ）在△ODC中OC=10cosθ，从而S=BC×CD=100（cosθsinθ﹣ sin2θ）（0＜θ＜ ）

由S′=100（﹣sin2θ+cos2θ﹣2 sinθcosθ）=0得tan2θ= ，

由0＜θ＜ ，得θ= ，易得θ= 时，S的最大值为100（1﹣ ）≈13.4．

此人布置1m2的宣传区域需要花费40元，

∴布置此矩形宣传栏最多要花费13.4×40=536元钱．

【解析】（Ⅰ）直接在三角形中利用三角函数可以表示DC、OB的长；（Ⅱ）S=BC×CD，求出相应函数，再利用导数方法研究函数的最大值．