Question

（2006•宣武区一模）下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面．
（Ⅰ）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，请给出证明；
（Ⅱ）若E为AB中点，求证：平面SEC⊥平面SCD；
（Ⅲ）求二面角B-SC-D的大小．

Answer 1

分析：（I）根据已知中的侧面形状，易判断出SA⊥AB，SA⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理，可得SA⊥面ABCD
（II）取SD中点F，SC的中点G，连结AF、FG、EG，先证出AF⊥面SCD，及四边形AEGF为平行四边形，进而得到EG⊥面SCD，最后由面面垂直的判定定理得到平面SEC⊥平面SCD
（III）过D作DH⊥SC于H，连结HB、BD，可得∴∠BHD为二面角B-SC-D的平面角，解Rt△SDC和△BHD可得答案．

解答：解：（I）存在一条侧棱SA⊥面ABCD，如图所示．

∵在△SAB中，SA⊥AB，
在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，AB，AD?面ABCD
∴SA⊥面ABCD…（4分）
（II）取SD中点F，SC的中点G，连结AF、FG、EG
∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥CD
又∵CD⊥AD且SA∩AD=A
∴CD⊥面SAD
∴CD⊥AF
∵Rt△SAD中，SA=AD，
∴AF⊥SD
又∵CD∩SD=D，
∴AF⊥面SCD
∵FG∥CD，FG=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴FG∥AE，FG=AE
∴四边形AEGF为平行四边形
∴EG∥AF
∴EG⊥面SCD
又∵EG?面SEC，
∴平面SEC⊥平面SCD…（9分）
（III）过D作DH⊥SC于H，连结HB、BD
∵△SBH≌△SDH
∴∠BHS=∠DHS=90°
∴BH⊥SC
∴∠BHD为二面角B-SC-D的平面角
Rt△SDC中，DH=

SD?DC

SC

=

2 a?a

3 a

=

6

3

a
△BHD中，cos∠BHD=

BH2+DH2-BD2

2?BH?DH

=

( 6 3 a)2+( 6 3 a)2-( 2 a)2

2• 6 3 a• 6 3 a

=-

1

2

∴∠BHD=120°
∴二面角B-SC-D的大小为120°…（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，平面与平面垂直的判定，解答（I）（II）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，解答（III）的关键是确定二面角的平面角．