Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4，BD＝4，AB＝2CD＝8.

(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
(2)当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD?
(3)求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer 1

（1）见解析（2）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时（3）24.

(1)证明：在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝4，AB＝8，∴AD²＋BD²＝AB².
∴AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD.
又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，
PA∥平面MBD.
证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN.
∵AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形．
∵AB＝2CD，
∴CN∶NA＝1∶2.
又∵CM∶MP＝1∶2，∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN.
∵MN?平面MBD，PA?平面MBD，∴PA∥平面MBD.
(3)过点P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.
即PO为四棱锥P－ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝×4＝2.
在Rt△ADB中，斜边AB上的高为＝2，此即为梯形ABCD的高．
梯形ABCD的面积S_ABCD＝×2＝12.
四棱锥P－ABCD的体积V_P－ABCD＝×12×2＝24.