Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（x，y）．若x∈[-1，2]，y∈[-1，1]，求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角的概率．

Answer 1

分析 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件和满足条件的事件可以利用集合来表示，做出集合对应的面积，利用面积之比得到概率．

解答 解：设“向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”为事件B，由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，即2x+y＜0，且x≠2y．
基本事件空间为Ω={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{-1≤y≤2}\end{array}\right.$}，
B={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{-1≤y≤2}\\{2x+y＜0}\\{x≠2y}\end{array}\right.$}，
则P（B）=$\frac{{U}_{B}}{{U}_{Ω}}$=$\frac{\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{3}{2}）×2}{2×3}$=$\frac{1}{3}$，
即向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角概率是$\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$

点评 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．