Question

在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为

7

25

．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）（理）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的最小值的集合．
（文）当点Q在（Ⅰ）中的曲线上运动时，求|PQ|的最大值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2c=AB，由余弦定理可得cosC=

PB2+PA2-62

2PB•PA

=

(PB+PA)2-2PB．PA-36

2PB•PA

=

2a2-18

PB•PA

-1及基本不等式PB．PA≤(

2a

2

)2=a2，可求cosC≥1-

18

a2

，从而可求a，及C点的轨迹方程
（Ⅱ）（理）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），设其方程为y=k（x+3）代入椭圆方程化简(

1

25

+

k2

16

)x2+

3

8

k2x+(

9k2

16

-1)=0，显然有△≥0，由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）及方程的根与系数的关系|BM|•|BN|取最小值，结合椭圆的

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)得性质判断M，N是否存在，使得|BM|•|BN|的最小值
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），则|PQ|²=x²+（y-4）²=25-

25

16

y2+（y-4）²
=-

9

16

(y+

64

9

)2+41+

256

9

，由-4≤y≤4且y≠0，结合二次函数的性质可求

解答：解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设PA+PB=2a（a＞0）为定值，所以P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴焦距2c=AB=6        （1分）
∵cosC=

PB2+PA2-62

2PB•PA

=

(PB+PA)2-2PB．PA-36

2PB•PA

=

2a2-18

PB•PA

-1（2分）
又∵PB．PA≤(

2a

2

)2=a2，cosC≥1-

18

a2

，此时p（0，±4），由题意得1-

18

a2

=

7

25

∴a²=25∴C点的轨迹方程为

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)（3分）
（注：y≠0没写扣（1分）：文科（Ⅰ）分别为2，3，（3分），共8分）
（Ⅱ）（理）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），
当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k（x+3）代入椭圆方程化简得(

1

25

+

k2

16

)x2+

3

8

k2x+(

9k2

16

-1)=0，显然有△≥0
∴x₁+x₂=-

150k2

16+25k2

，x₁．x₂=

225k2-400

16+25k2

而由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）=25-3（x₁+x₂） +

9

25

x1x2…（2分）
=25+

450k2

16+25k2

+

81k2-144

16+25k2

=25+

531k2-144

16+25k2

只考虑

16 25 + 144 531

k2+ 16 25

的最小值，即考虑1-

16 25 + 144 531

k2+ 16 25

的最小值，易知当k=0时，1-

16 25 + 144 531

k2+ 16 25

的最小值
此时|BM|•|BN|取最小值16（2分）
当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3得|BM|•|BN|=（

34

5

）²＞16；（1分）
但

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)，故这样的M，N不存在，即|BM|•|BN|的最小值集合为空集（1分）
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），
则|PQ|²=x²+（y-4）²=25-

25

16

y2+（y-4）²=-

9

16

(y+

64

9

)2+41+

256

9

，
∵-4≤y≤4且y≠0，
∴当y=-4时，|PQ|取到最大值8 集合为{8} （6分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质及余弦定理求解椭圆的方程，利用函数的性质求解函数的最值问题，要求考试具备一定的逻辑推理与运算的能力