Question

已知函数f（x）=3e^|x|+a（e=2.71828…是自然对数的底数）的最小值为3．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知b∈R且x＜0，试解关于x的不等式 lnf（x）-ln3＜x²+（2b-1）x-3b²；
（Ⅲ）已知m∈Z且m＞1．若存在实数t∈[-1，+∞），使得对任意的x∈[1，m]，都有f（x+t）≤3ex，试求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由3e^|x|的最小值为3，可得函数f（x）的最小值为3+a=3，由此求得a的值．
（Ⅱ）由f（x）=3e^|x|，x＜0，可得lnf（x）=-x+ln3．不等式化为-x＜x²+（2b-1）x-3b²，即（x+3b）（x-b）＞0．再分当b≥0时，和b＜0时两种情况，分别求得不等式的解集．
（Ⅲ）由题意可得x+t≥0，f（x+t）≤3ex，等价于 t≤1+lnx-x．原命题等价转化为：存在实数t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1，m]恒成立．再利用导数求得h（x）=1+lnx-x的最小值为h（x）_min=h（m）=1+lnm-m，由此求得h（m）≥-1的最大整数m的值．

解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=3e^|x|+a≥3e⁰+a=3+a （e=2.71828…是自然对数的底数），
且函数的最小值为3，
故有3+a=3，∴a=0．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=3e^|x|．
当x＜0时，lnf（x）=ln（3e^|x|）=ln3+|x|=-x+ln3．
故不等式 lnf（x）-ln3＜x²+（2b-1）x-3b² 可化为-x＜x²+（2b-1）x-3b²，
即 x²+2bx-3b²＞0，即（x+3b）（x-b）＞0．
故当b≥0时，不等式的解集为{x|x＜-3b }； b＜0时，不等式的解集为{x|x＜b}．
（Ⅲ）∵当t∈[-1，+∞）且x∈[1，m]时，x+t≥0，
∴f（x+t）≤3ex，等价于e^x+t≤ex，等价于 t≤1+lnx-x．
∴原命题等价转化为：存在实数t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1，m]恒成立．
令h（x）=1+lnx-x（x＞0）．
∵h′(x)=

1

x

-1≤0，∴函数h（x）在（0，+∞）为减函数．
又∵x∈[1，m]，∴h（x）_min=h（m）=1+lnm-m．
∴要使得对x∈[1，m]，t值恒存在，只须1+lnm-m≥-1．
∵h(3)=ln3-2=ln(

1

e

•

3

e

)＞ln

1

e

=-1，h(4)=ln4-3=ln(

1

e

•

4

e2

)＜ln

1

e

=-1，且函数h（x）在（0，+∞）为减函数，
∴满足条件的最大整数m的值为3．

点评：本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．