Question

4．在正三棱锥P-ABC中，AB=6，PA=5．
（1）求此三棱锥的体积V；
（2）求二面角P-AB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点D，连结CD、PD，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则O是△ABC的重心，由已知求出PO和S_△ABC，由此能求出正三棱锥P-ABC的体积．
（2）由已知得PD⊥AB，CD⊥AB，从而∠PDC是二面角P-AB-C的平面角，由此能求出二面角P-AB-C的正弦值．

解答 解：（1）取AB中点D，连结CD、PD，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，
∵正三棱锥P-ABC中，AB=6，PA=5，
∴O在CD上，且O是△ABC的重心，
CD=$\sqrt{36-9}$=3$\sqrt{3}$，CO=$\frac{2}{3}CD=2\sqrt{3}$，PO=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
∴正三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×PO$=$\frac{1}{3}×9\sqrt{3}×\sqrt{13}$=3$\sqrt{39}$．
（2）∵PA=PB=5，AC=BC=6，AD=BD=3，
∴PD⊥AB，CD⊥AB，
∴∠PDC是二面角P-AB-C的平面角，
∵PD=$\sqrt{P{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4，
∴sin∠PDC=$\frac{PO}{PD}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴二面角P-AB-C的正弦值为$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

点评 本题考查正三棱锥的体积的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．