Question

10．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+a|x+2|．当a=1时，f（x）的单调递减区间为[1，+∞）；当a=-1时，f（x）的单调递增区间为[-2，1]，f（x）的值域为[$\frac{1}{8}$，8]．

Answer 1

分析 当a=1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+|x+2|，令u（x）=|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2≤x≤1}\\{-2x-1，x＜-2}\end{array}\right.$，利用复合函数的单调性判断即可；当a=-1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|-|x+2|令u（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≥1}\\{-2x-1，-2≤x＜2}\\{3，x≤-2}\end{array}\right.$，根据复合函数的单调性可判断即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+a|x+2|．
∴当a=1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+|x+2|，
令u（x）=|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2≤x≤1}\\{-2x-1，x＜-2}\end{array}\right.$，
∴u（x）在[1，+∞）单调递增，
根据复合函数的单调性可判断：f（x）的单调递减区间为[1，+∞），
（2）当a=-1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|-|x+2|
令u（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≥1}\\{-2x-1，-2≤x＜2}\\{3，x≤-2}\end{array}\right.$，
u（x）在[-2，1]单调递减，
∴根据复合函数的单调性可判断：f（x）的单调递增区间为[-2，1]，f（x）的值域为[$\frac{1}{8}$，8]．
故答案为：[1，+∞）；[-2，1]；[$\frac{1}{8}$，8]．

点评 本题考查了函数的单调性，复合函数的单调性的判断，属于中档题，关键是去绝对值．