Question

（2010•衢州一模）对于函数f（n）=

1-(-1)n

2

（n∈N^*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=0（k∈N^*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（　　）

A．f（n+1）-f（n）=1

B．f（n+k）=f（n）（k∈N^*）

C．α^f（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）

D．α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）

Answer 1

分析：当n=1，2，3，4，…时，f（n）=

1-(-1)n

2

的函数值为：1，0，1，0，…，然后对选项进行判断，即可得出结论．

解答：解：当n=1，2，3，4，…时，f（n）=

1-(-1)n

2

的函数值为：1，0，1，0，…
对于A：f（2）-f（1）=-1，故A不成立；
对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；
对于C：n为偶数，则α^f（n）=1，f（n+1）+αf（n）=1；n为奇数，则α^f（n）=α，f（n+1）+αf（n）=α；
∴C正确；
对于D：α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；
故选C．

点评：本题考查函数的表示方法、函数周期性的应用、数列的表示方法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．