Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b的取值范围；
（2）函数f（x）=

1

x

是否属于集合M？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=kx+b∈M，可得存在实数x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b成立，以此求解k，b满足的约束条件；
（2）若f（x）=

1

x

∈M，则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，从而可得结论．

解答：解：（1）D=R，f（x）=kx+b∈M，即存在实数x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b
∴b=0，∴实数k和b取得范围是k∈R，b=0；
（2）函数f（x）=

1

x

∉M，理由如下：
D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）=

1

x

∈M，则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，
即x₀²+x₀+1=0，因为此方程无实数解，所以函数f（x）=

1

x

∉M．

点评：本题考查函数的性质，方程思想，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．