Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-

2

3

．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）为R上的减函数；
（3）解关于x的不等式：

1

2

f(2bx)-f(x)＞

1

2

f(bx)-f(b)．（其中b＞2）

Answer 1

分析：（1）由题意，直接对f（x）+f（y）=f（x+y）中的变量进行赋值，先令x=y=0求得f（0），再令y=-x，即可得到f（x）+f（-x）=0，即可判断出结论
（2）利用定义法判断函数的单调性即可
（3）先利用恒等式对所给的不等式进行化简，再利用函数的单调性即可解出不等式的解集

解答：解：（1）由题意，在f（x）+f（y）=f（x+y）中令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0
再令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以函数是奇函数
（2）令x₁＜x₂，则x₂=x₁+x₂-x₁，x₂-x₁＞0
所以f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂），
又x＞0时，f（x）＜0
所以f（x₂-x₁）＜0
所以f（x₁）＞f（x₂），即f（x）为R上的减函数
 （3）不等式

1

2

f(2bx)-f(x)＞

1

2

f(bx)-f(b)?f(bx)+f(b)＞f(

1

2

bx)+f(x)?f(bx+b)＞f(

1

2

bx+x)
又f（x）为R上的减函数
所以bx+b＜

1

2

bx+x，整理得（b-2）x＜-2b，又b＞2，即b-2＞0
解得x＜

-2b

b-2

．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的证明及综合利用此两性质解抽象不等式，考查了推理判断能力及运算能力，综合性较强