Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100m处击中目标的概率为

1

2

，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
（1）求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；
（2）求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望．

Answer 1

分析：由题意可得，p=

k

x2

，结合x=100时，p=

1

2

可求k，然后求出p（x=150），p（x=200）
（1）设A_i表示第i次击中（i=1，2，3），则射手甲在这次射击比赛中命中目标为事件A=A1+

.

A1

A2+

.

A1

.

A 2

A3，代入公式可求
（2）ξ的取值有3，2，1，0，然后根据相互独立事件同时发生的概率公式求出每种取值的概率，可求答案

解答：解：由题意可得，p=

k

x2

∵x=100时，p=

1

2

=

k

1002

∴k=5000，p=

5000

x2

∴p（x=150）=

5000

1502

=

2

9

p（x=200）=

5000

2002

=

1

8

（1）设A_i表示第i次击中（i=1，2，3）
记：“射手甲在这次射击比赛中命中目标”，则A=A1+

.

A1

A2+

.

A1

.

A 2

A3
∴P（A）=P（A1+

.

A1

A2+

.

A1

.

A 2

A3）=P（A₁）+P（

.

A1

A2）+P（

.

A1

.

A2

A3）
=

1

2

+

1

2

×

2

9

+

1

2

×

7

9

×

1

8

=

95

144

（2）ξ的取值有3，2，1，0
P（ξ=0）=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

P（ξ=1）=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

P（ξ=2）=

1

2

×

2

9

=

1

9

P（ξ=3）=

1

2

∴Eξ=3×

1

2

+2×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

85

48

点评：本题主要考查了等可能事件的概率求解及离散型随机变量的期望值的求解