Question

【题目】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；
（5）甲、乙站在两端．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A41种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有站A41A55=480（种）．

方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选 2个人站，有A52种站法，然后中间4人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法A52A44=480（种）．

方法三：若对甲没有限制条件共有A66种法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66﹣2A55=480（种）

（2）解：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根椐分步计数原理，共有A55A22=240（种）站法
（3）解：因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A52种，故共有站法为A44A52=480（种）
（4）解：先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A64种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，全部排完，故共有A64=360种
（5）解：方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步计数原理，共有A22A44=48（种）．

方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步计数原理共有A22A44=48种站法．

【解析】（1）根据题意，首先分析甲的情况，易得甲有4种情况，再将剩余的5个人进行全排列，安排在其余5个位置，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，再把甲、乙进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A64种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，问题得以解决．（5）根据题意，首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，再让其他4人在中间位置作全排列，根据分步计数原理，由分步计数原理计算可得答案