Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与过A（2，0），B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=

3

2

（1）求椭圆方程；
（2）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，求tan∠ATM．

Answer 1

分析：（1）直线AB方程与椭圆方程联解，利用根的判别式算出a²+4b²-4=0．再由椭圆的离心率e=

3

2

，得a=2b，代入前面的式子可得a²=2且b²=

1

2

，从而得到椭圆方程；
（2）由（1）算出F₁、F₂的坐标，从而得到AF₂的中点M（1+

6

4

，0），联解AB方程与椭圆方程得T（1，

1

2

）．
最后利用直线的斜率公式和两角差的正切公式，即可得到tan∠ATM的值．

解答：解：（1）过点A、B的直线方程为：

x

2

+y=1，
∵直线AB与椭圆有唯一公共点，
∴将y=1-

1

2

x代入椭圆方程，化简得
方程（b²+

1

4

a2）x²-a²x+a²-a²b²=0有惟一解，
∴△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又∵椭圆的离心率e=

3

2

，
∴a=2b，代入上式可得a²=2，b²=

1

2

，
因此，所求的椭圆方程为

x2

2

+

y2

1 2

=1；
（2）由（1）得c=

a2-b2

=

6

2

，得F₁（-

6

2

，0），F₂（-

6

2

，0）
从而算出M（1+

6

4

，0）
将直线AB方程与椭圆方程联解，可得T（1，

1

2

）．
∴tan∠AF₁T=

1 2 -0

1+ 6 2

=

6

2

-1，
又∵tan∠TAM=-

1 2 -0

1-2

=

1

2

，tan∠TMF₂=-

1 2 -0

1-(1+ 6 4 )

=

2

6

，
∴tan∠ATM=tan（∠TMF₂-∠TAM）=

2 6 - 1 2

1+ 2 6 • 1 2

=

6

2

-1．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求角的正切之值．主要考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于中档题．