Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1
（1）求证：CE∥面ABF；
（2）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为

1

3

，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）由矩形的对边平行，结合已知及面面平行的第二判定定理，可得面ABF∥面CDE，进而由面面平行的性质得到CE∥面ABF
（2）设AB=x，以F为原点，AF，EF所有直线分别为x，y轴建立空间坐标系，分别求出平面ABF和平面BFD的法向量，结合二面角A-BF-D的平面角的余弦值为

1

3

，构造关于x的方程，解方程可得AB的长．

解答：证明：（1）∵ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
又∵AF∥DE，AB，AF?面ABF，AB∩AF=A，CD，DE?面CDE
∴面ABF∥面CDE
又∵CE?面CDE
∴CE∥面ABF；
（2）设AB=x，以F为原点，AF，EF所有直线分别为x，y轴建立空间坐标系，
∵AF=AD=2，DE=1
则F（0，0，0），A（-2，0，0），D（-1，

3

，0），B（-2，0，x）
∴

DF

=（1，-

3

，0），

BF

=（2，0，-x）
∵EF⊥平面ABF，
∴

n

=（0，1，0）为平面ABF的一个法向量
设

m

=（a，b，c）为平面BFD的一个法向量，则

m • DF =0 m • BF =0

，即

a- 3 b=0 2a-xc=0

令b=1，则

m

=（

3

，1，

2 3

x

）
∵cos＜

m

，

n

＞=

1

3

解得x=

2

5

15

∴AB=

2

5

15

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的求法，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答（1）的关键．建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答（2）的关键．