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f(x)=2x+
a2x
-1
(a为实常数).
(1)当a<0时,用函数的单调性定义证明:y=f(x)在R上是增函数;
(2)当a=0时,若函数y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线x=0对称,求函数y=g(x)的解析式;
(3)当a<0时,求关于x的方程f(x)=0在实数集R上的解.
分析:(1)设x1<x2,再进行作差f(x1)-f(x2),代入解析式进行化简,根据条件判断出符号,最后下结论;
(2)先设y=g(x)的图象任一点为P(x,y),再求出对称点(-x,y)代入f(x)=2x-1,进行整理即可;
(3)将方程2x+
a
2x
-1=0
进行化简,再设t=2x,则t>0,代入后得到关于t的二次方程,利用a的范围和求根公式进行求解,再求出x的值.
解答:解:(1)设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(2x1+
a
2x1
-1
)-(2x2+
a
2x2
-1

=2x1-2x2+
a
2x1
-
a
2x2
=2x1-2x2+
a(2x2-2x1)
2x12x2

=
(2x1-2x2)(1-a)
2x12x2

∵x1<x2,∴2x1-2x2<02x12x2>0
∵a<0,∴1-a>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),
∴y=f(x)在R上是增函数;
(2)a=0时,f(x)=2x-1,设y=g(x)的图象任一点为P(x,y),
则P(x,y)关于直线x=0对称点(-x,y)在y=f(x)的图象,
∴y=2-x-1=
1
2x
-1
,即g(x)=
1
2x
-1

(3)由2x+
a
2x
-1=0
得,22x-2x+a=0,
设t=2x,则t>0,且方程变为t2-t+a=0,
∵a<0,∴△=1-4a>1,
∴方程的根为t1=
1-
1-4a
2
<0,t2=
1+
1-4a
2
>0,
∴方程的根为:t =
1+
1-4a
2
=2x
∴x=
log
1+
1-4a
2
2

即方程f(x)=0在实数集R上的解是
log
1+
1-4a
2
2
点评:本题是综合题,考查了利用单调性的定义证明过程,利用对称性求函数的解析式,以及换元法求方程的根,注意换元后应求出对应的范围.
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f(x)=
2x+1
4x+3
(x∈R,且x≠-
3
4
)
,则f-1(2)=(  )
A、-
5
6
B、
5
11
C、
2
5
D、-
2
5

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