Question

设f(x)=2x+

a

2x

-1（a为实常数）．
（1）当a＜0时，用函数的单调性定义证明：y=f（x）在R上是增函数；
（2）当a=0时，若函数y=g（x）的图象与 y=f（x）的图象关于直线x=0对称，求函数y=g（x）的解析式；
（3）当a＜0时，求关于x的方程f（x）=0在实数集R上的解．

Answer 1

分析：（1）设x₁＜x₂，再进行作差f（x₁）-f（x₂），代入解析式进行化简，根据条件判断出符号，最后下结论；
（2）先设y=g（x）的图象任一点为P（x，y），再求出对称点（-x，y）代入f（x）=2^x-1，进行整理即可；
（3）将方程2x+

a

2x

-1=0进行化简，再设t=2^x，则t＞0，代入后得到关于t的二次方程，利用a的范围和求根公式进行求解，再求出x的值．

解答：解：（1）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（2x1+

a

2x1

-1）-（2x2+

a

2x2

-1）
=2x1-2x2+

a

2x1

-

a

2x2

=2x1-2x2+

a(2x2-2x1)

2x12x2

=

(2x1-2x2)(1-a)

2x12x2

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，2x12x2＞0，
∵a＜0，∴1-a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在R上是增函数；
（2）a=0时，f（x）=2^x-1，设y=g（x）的图象任一点为P（x，y），
则P（x，y）关于直线x=0对称点（-x，y）在y=f（x）的图象，
∴y=2^-x-1=

1

2x

-1，即g（x）=

1

2x

-1；
（3）由2x+

a

2x

-1=0得，2^2x-2^x+a=0，
设t=2^x，则t＞0，且方程变为t²-t+a=0，
∵a＜0，∴△=1-4a＞1，
∴方程的根为t1=

1- 1-4a

2

＜0，t2=

1+ 1-4a

2

＞0，
∴方程的根为：t =

1+ 1-4a

2

=2^x，
∴x=

log	1+ 1-4a 2 2

，
即方程f（x）=0在实数集R上的解是

log	1+ 1-4a 2 2

．

点评：本题是综合题，考查了利用单调性的定义证明过程，利用对称性求函数的解析式，以及换元法求方程的根，注意换元后应求出对应的范围．