Question

如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，3，…），底边B_nC_n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B₁的坐标为（0，b），b＞0．
（1）若A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一条直线上，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a₁是正整数，A₁，A₂，A₃，…，A_n依次在函数y=x²的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于

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2

，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先分析A_n 点的坐标，借助于A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一条直线上，得到斜率相等，从而得出a₂ⁿ=a_n-1a_n+1，故可证数列 {a_n}是等比数列；（2）由题意b+a1+a2+…+an-1+

an

2

=

a n 2

4

，进而再写一式两式作差，可得a_n-a_n-1=2，从而可求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）A_n 点的坐标为An(

an

2

，b+a1+a2+…+an-1+

an

2

)，
  根据kAnAn-1=kAnAn1，则

an+1 2 + an 2

an+1 2 - an 2

=

an 2 + an-1 2

an 2 - an-1 2

，∴a_n²=a_n-1a_n+1，所以数列 {a_n}是等比数列．         
（2）依题意，b+a1+a2+…+an-1+

an

2

=

a 2 n

4

，b+a1+a2+…+an-2+

an-1

2

=

a 2 n-1

4

两式作差，则有：

an

2

+

an-1

2

=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)，∴a_n-a_n-1=2
，又前三个等腰直角三角形面积之和不大于

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2

，故a₁²+（a₁+2）²+（a₁+4）²≤86，∴a₁=1，2，3
A₁在函数y=x²的图象上∴b+

a1

2

=(

a1

2

)2，b＞0∴a₁=3，数列{a_n}的通项公式∴a_n=2n+1

点评：本题求解的关键是题意得挖掘，利用点共线，转化为斜率相等，利用前三个等腰直角三角形面积之和不大于

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，寻求数列的通项