Question

已知函数f（x）=

2

3

x（x2-3ax-

9

2

）（a∈R）
（1）若函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x-y+b=0，求m的值．
（2）若函数f（x）在（1，2）内是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把P的横坐标x=1代入导函数中求出的导函数值即为过P切线方程的斜率，又由切线方程得到切线的斜率为3，让求出的导函数值等于3列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入，确定出f（x），把x=1代入即可求出m的值；
（2）求出f（x）的导函数，由已知f（x）在（1，2）内是增函数，得到导函数在（1，2）内恒大于等于0，解出a小于等于一个关系式，设此关系式为一个函数y，根据y在（1，2）也是增函数，由自变量x的范围求出y的值域，即可单调y的最小值，让a小于y的最小值即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

3

x³-2ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-4ax-3，
则过点P（1，m）的切线斜率为k=f′（1）=-1-4a，
又∵切线方程为3x-y+b=0，
∴-1-4a=3，即a=-1
∴f（x）=

2

3

x³+2x²-3x，
又∵P（1，m）在f（x）的图象上，
∴m=-

1

3

；
（2）∵函数f（x）在（1，2）内是增函数，
∴f′（x）=2x²-4ax-3≥0对一切x∈（1，2）恒成立，
即4ax≤2x²-3，
∴a≤

x

2

-

3

4x

，
∵y=

x

2

-

3

4x

在（1，2）内是增函数，
∴

x

2

-

3

4x

∈（-

1

4

，

5

8

），
∴a≤-

1

4

．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握函数的单调性与导数之间的关系，掌握不等式恒成立时满足的条件，是一道中档题．