Question

已知函数f（x）=x²+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入函数解析式，分段后分段求解方程f（x）=1的解集，取并集后得答案；
（2）分段写出函数f（x）的解析式，由f（x）在R上单调递增，则需第一段二次函数的对称轴小于等于a，第二段一次函数的一次项系数大于0，且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值，联立不等式组后求解a的取值范围；
（3）把不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立转化为函数g（x）=f（x）-（2x-3）≥0对一切实数x∈R恒成立．然后对a进行分类讨论，利用函数单调性求得a的范围，取并集后得答案．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+（x-1）|x+1|，
故有f(x)=

2x2-1， x≥-1 1， x＜-1

，
当x≥-1时，由f（x）=1，有2x²-1=1，
解得x=1或x=-1．
当x＜-1时，f（x）=1恒成立．
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}；
（2）f(x)=

2x2-(a+1)x+a，  x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
若f（x）在R上单调递增，则有

a+1 4 ≤a a+1＞0

，
解得，a≥

1

3

．
∴当a≥

1

3

时，f（x）在R上单调递增；
（3）设g（x）=f（x）-（2x-3），
则g(x)=

2x2-(a+3)x+a+3，x≥a (a-1)x-a+3，  x＜a

，
不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．
①若a＞1，则1-a＜0，即

2

1-a

＜0，取x0=

2

1-a

，
此时x₀∈（-∞，a），g(x0)=g(

2

1-a

)=(a-1)•

2

1-a

-a+3=1-a＜0，
即对任意的a＞1，总能找到x0=

2

1-a

，使得g（x₀）＜0，
∴不存在a＞1，使得g（x）≥0恒成立． 
②若a=1，g(x)=

2x2-4x+4， x≥1 2， x＜1

，g（x）值域[2，+∞），
∴g（x）≥0恒成立．
③若a＜1，
当x∈（-∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a²-2a+3，+∞），
由于a²-2a+3=（a-1）²+2≥2，
∴g（x）≥0成立．
当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知a＜

a+3

4

，g（x）在x=

a+3

4

处取最小值，
令g(

a+3

4

)=a+3-

(a+3)2

8

≥0，得-3≤a≤5，
又a＜1，∴-3≤a＜1．
综上，a∈[-3，1]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了分离变量法，训练了利用函数单调性求参数的取值范围，属难度较大的题目．