Question

某旅游商品生产企业，2011年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为1.2元/件，年销售量为10000件，因2012年调整黄金周的影响，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.8x．已知利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）2011年该企业的利润是多少？
（2）写出2012年预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（3）为使2012年的年利润达到最大值，则每件投入成本增加的比例x应是多少？此时最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）根据利润=（出厂价-投入成本）×年销售量，可得2011年该企业的利润；
（2）利用每件投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.8x，可建立函数关系式；
（3）利用配方法，可求函数的最值．

解答：解：（1）根据利润=（出厂价-投入成本）×年销售量，可得2011年该企业的利润是（1.2-1）×10000=2000元；
（2）∵每件投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.8x
∴y=[1.2（1+0.75x）-（1+x）]×10000（1+0.8x）=200（10+3x-4x²），x∈（0，1）；
（3）∵y=-800(x-

3

8

)2+2112.5
∴当x=

3

8

时，y_max=2112.5
答：（1）2011年该企业的利润是2000元；（2）2012年预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式为y=200（10+3x-4x²），x∈（0，1）；（3）当x=

3

8

时，y_max=2112.5．

点评：本小题主要考查建立函数关系，考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．