Question

1．若O为坐标原点，直线y=2b与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别交于A、B两点，直线OA的斜率为-1，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）

• A． ±$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． ±$\frac{3}{2}$
• C． ±$\frac{\sqrt{30}}{5}$
• D． ±$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出A的坐标，利用直线OA的斜率为-1，列出方程，转化求解该双曲线的渐近线的斜率即可．

解答 解：若O为坐标原点，直线y=2b与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别交于A、B两点，
y=2b代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1
可得A：（-$\sqrt{5}$a，2b），
直线OA的斜率为-1，可得$\frac{2b}{-\sqrt{5}a}$=-1，可得：$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
该双曲线的渐近线的斜率：$±\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．