Question

14．已知函数f（x）=x²+2ax+2，a∈R．
（1）若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，求a的取值范围；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤6，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的对称轴方程和f（x）的值域，由题意可得f（x）的最小值不大于f（x）的对称轴，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤6，讨论对称轴x=-a和区间[-1，1]的关系，求得f（x）的最值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）首先f（x）的对称轴为x=-a，
x∈R时，$f（x）∈[{\frac{{8-4{a^2}}}{4}，+∞}）$，
因为函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，
所以$\frac{{8-4{a^2}}}{4}≤-a$，
解得a≥2或a≤-1；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤6
等价于在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤6，
据此分类讨论如下：f（-1）=3-2a，f（-a）=2-a²，f（1）=3+2a，
（ⅰ）当-a≤-1即a≥1时，$M=f（1）-f（{-1}）=4a≤6⇒a≤\frac{3}{2}$．
（ⅱ） 当-1＜-a＜1，即-1＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}f（1）-f（{-a}）≤6\\ f（{-1}）-f（{-a}）≤6\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{（{a+1}）^2}≤6\\{（{a-1}）^2}≤6\end{array}\right.$恒成立．
（ⅲ）当-a≥1，即a≤-1时，$M=f（{-1}）-f（1）=-4a≤6⇒a≥-\frac{3}{2}$．
综上可知，$-\frac{3}{2}≤a≤\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数的值域和不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．