Question

已知数列a_n}的前n项和为s_n，满足（p-1）s_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若存在正整数M，使得当n≥M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立，求出M的最小值；
（3）当p=2时，数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x，y均为整数，求出x，y的值．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，（p-1）s_n-1=p²-a_n-1，可得数列{a_n}为等比数列，公比为

1

p

，可求所以a₁=p，可得答案；
（2）由（1）可得(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)34，分0＜p＜1和p＞1两种情况来讨论；
（3）当p=2时，因为数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，可得2^x=1+2^y-2，通过对y进行讨论可得，当y=2时，2^x=2，则x=1；当y＞2和y＜2时，均会产生矛盾，故而得解．

解答：解：（1）因为（p-1）s_n=p²-a_n，所以当n≥2时，（p-1）s_n-1=p²-a_n-1，
两式相减得（p-1）a_n=a_n-a_n-1，即pa_n=a_n-1，所以

an

an-1

=

1

p

，
所以数列{a_n}为等比数列，公比为

1

p

，
又当n=1时，（p-1）s₁=p²-a₁，即（p-1）a₁=p²-a₁，所以pa1=p2
因为p＞0，所以a₁=p，所以{a_n}的通项公式为：an=p(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2
（2）由（1）知：a₁a₄a₇…a_3n-2=(

1

p

)-1(

1

p

)2(

1

p

)5…(

1

p

)3n-4=(

1

p

)-1+2+5+…+3n-4=(

1

p

)

n(3n-5)

2

而a36=(

1

p

)34，所以不等式a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆，即为(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)34
p为正常数，且p≠1，所以当0＜p＜1时，

1

p

＞1，所以

n(3n-5)

2

＞34，解得n＜-4或n＞

17

3

，
故存在最小值为6的M，使得a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立；
当p＞1时，0＜

1

p

＜1，所以

n(3n-5)

2

＜34，解得-4＜n＜

17

3

，不合题意，
综合可得：当当0＜p＜1时，所求M的最小值为6．
（3）当p=2时，an=(

1

2

)n-2，因为数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，
所以2×2x(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2 +2y(

1

2

)n，
化简得2^x=1+2^y-2，显然x＞y-2，因为x，y均为整数，
所以当y=2时，2^x=2，则x=1，
当y＞2时，2^y-2为偶数，则1+2^y-2为奇数，即2^x为奇数，这与2^x为偶数矛盾，
当y＜2时，2-y＞0，x+2-y＞0，由2^x=1+2^y-2得，2^x+2-y=1+2^2-y，则2^2-y为偶数，
1+2^2-y为奇数，即2^x+2-y为奇数，这与2^x+2-y为偶数矛盾，
综合得：x=1，y=2．

点评：本题为等差、等比数列与不等式的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．