Question

已知函数g(x)=-4cos2(x+

π

6

)+4sin(x+

π

6

)-a，把函数y=g（x）的图象按向量

a

=(-

π

3

，1)平移后得到y=f（x）的图象．
（1）求函数y=log

1

2

[f(x)+8+a]的值域；
（2）当x∈[-

π

4

，

2π

3

]时f（x）=0恒有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先将根据函数g（x）的图象按向量

a

=(-

π

3

，1)平移后得到y=f（x）的图象，求出y=f（x）的解析式，然后转化成关于cosx的二次函数，根据cosx的范围求出f（x）+8+a的范围，根据对数函数的单调性即可求出函数y=log

1

2

[f(x)+8+a]的值域；
（2）根据x∈[-

π

4

，

2π

3

]，求出cosx的范围，从而求出f（x）的范围，要使f（x）=0恒有解，只需f（x）的最小值恒小于等于另且最大值恒大于等于零即可．

解答：解：把函数g(x)=-4cos2(x+

π

6

)+4sin(x+

π

6

)-a
按向量

a

(-

π

3

，1)
平移后得f(x)=-4sin2x+4cosx+1-a=4(cosx+

1

2

)2-4-a（2分）
（1）y=log

1

2

[f(x)+8+a]=log

1

2

[4(cosx+

1

2

)2+4]（3分）
∵-1≤cosx≤1，∴-

1

2

≤cosx+

1

2

≤

3

2

，0≤(cosx+

1

2

)2≤

9

4

（5分）
则函数y=log

1

2

[f(x)+8+a]的值域为[log

1

2

13，-2]；（7分）
（2）当x∈[-

π

4

，

2π

3

]时，-

1

2

≤cosx≤1，由f(x)=4(cosx+

1

2

)2-4-a得
∴-4-a≤f（x）≤5-a（9分）∵f（x）=0恒有解，∴

5-a≥0 -4-a≤0

，（11分）
即-4≤a≤5（12分）

点评：本题考查复合函数的单调性，以及函数的值域的求解，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．