Question

1．下列命题中正确的是（　　）

• A． 若$λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，则λ=μ=0
• B． 若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$
• C． 若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为|$\overrightarrow{a}$|
• D． 若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$）²

Answer 1

分析 举反例：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，则λ≠0，μ≠0，$λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$也成立，即可判断A；
若非零向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，而此时$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$不成立，可判断B；
由于$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，因为可能$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的方向相同或相反，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为±|$\overrightarrow{a}$|，可判断C；
$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，可知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即可得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$）² ，可得D正确．

解答 解：若$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，则λ≠0，μ≠0，$λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$也成立，因此A不正确；
若非零向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，而此时$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$不成立，故B不正确；
∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的方向相同或相反，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为±|$\overrightarrow{a}$|，故C不成立；
∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即可得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$）² ，因此D正确．
综上可知：只有D正确．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握向量共线定理、向量垂直与数量积性质等是解题的关键，是中档题．