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对于函数f(x),若存在x∈R,使得f(x)=x成立,则称x为f(x)的天宫一号点.已知函数f(x)=ax2+(b-7)x+18的两个天宫一号点分别是-3和2.
(1)求a,b的值及f(x)的表达式;
(2)当函数f(x)的定义域是[t,t+1](t>0)时,f(x)的最大值为G(t),最小值为g(t),求H(t)=G(t)-g(t)的表示式.
【答案】分析:(1)直接利用定义把条件转化为f(-3)=-3,f(2)=2联立即可求a,b的值及f(x)的表达式;
(2)根据函数的对称轴,确定f(x)在[t,t+1]内是单调减函数,从而可求f(x)的最大值为G(t),最小值为g(t),进而可求H(t)=G(t)-g(t)的表示式
解答:解:(1)依题意得f(-3)=-3,f(2)=2;
即9a+21-3b+18=-3,4a+2b-14+18=2,
解得a=-3,b=5
∴f(x)=-3x2-2x+18
(2)∵f(x)对称轴为 <0
∴f(x)在[t,t+1](t>0)内是单调减函数,


∴H(t)=G(t)-g(t)=6t+5
点评:本题以新定义为载体,考查函数的解析式,考查二次函数在闭区间上的最值问题.关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题,一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大;开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大,离对称轴越远函数值越小
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①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“稳定区间”的函数有
 
(填出所有满足条件的函数序号)

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f(x)=ax2+bx+1(a>0)有两个相异的不动点x1,x2
(1)若x1<1<x2,且f(x)的图象关于直线x=m对称,求证:
12
<m<1;
(2)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范围.

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(1)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求证:B=∅;
(2)设函数f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根据(1)(2)中的结论判断A=B恒成立?若能,请给出证明,若不能,请举以反例.

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x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)试求函数f(x)的单调区间,
(2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求证:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前题条件下,设bn=-
1
an
,Tn表示数列{bn}的前n项和,求证:T2011-1<ln2011<T2010

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