Question

正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，点D是BC的中点，．设B₁D∩BC₁=F．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥平面AB₁D．

Answer 1

【答案】分析：（I）连结A₁B，设A₁B交AB₁于E，连结DE．根据三角形的中位线定理，证出DE∥A₁C，结合线面垂直的判定定理，即可得到
A₁C∥平面AB₁D；
（II）根据等边△ABC的中线，证出AD⊥BC，结合面面垂直的性质定理，证出AD⊥平面B₁BCC₁，从而得到AD⊥BC₁．矩形B₁C₁CB中利用Rt△B₁BD∽Rt△BCC₁，证出BC₁⊥B₁D．最后根据线面垂直判定定理，即可证出BC₁⊥平面AB₁D．
解答：解：（Ⅰ）连结A₁B，设A₁B交AB₁于E，连结DE．
∵△A₁BC中，点D是BC的中点，点E是A₁B的中点，
∴DE∥A₁C．        …（3分）
∵A₁C?平面AB₁D，DE?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．    …（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面B₁BCC₁，平面ABC∩平面B₁BCC₁=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵BC₁?平面B₁BCC₁，∴AD⊥BC₁．…（9分）
∵点D是BC中点，，∴．
由此可得：，
∴Rt△B₁BD∽Rt△BCC₁，可得∠BDB₁=∠BC₁C．
∴∠FBD+∠BDF=∠C₁BC+∠BC₁C=90°
∴BC₁⊥B₁D，…（13分）
∵B₁D∩AD=D，B₁D、AD?平面AB₁D，
∴BC₁⊥平面AB₁D．       …（15分）
点评：本题给出底面为矩形且一个侧面为垂直于底面的正三角形的四棱锥，求证线面平行和线面垂直．着重考查了空间线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．