Question

已知抛物线C：x²=y和定点P(1，2)，A，B为抛物线C上的两个动点，且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数。
(Ⅰ)求证：直线AB的斜率是定值；
(Ⅱ)若抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，求M的轨迹方程；
(Ⅲ)若A′与A关于y轴成轴对称，求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）(x_A≠x_B)，直线PA的斜率为k(k≠0)，则直线PB的斜率为-k，
∴PA的直线方程为y-2=k(x-2)，
由消y，得，
因为点P在曲线C上，所以，由韦达定理，得，，
∴，同理，
则。
(Ⅱ)设点M(x，y)，则由y=2x²，得y′=4x，
所以直线M的方程为：y-y_A=4x_A(x-x_A)，①
同理直线MB的方程为：y-y_B=4x_B(x-x_B)，②
由①②，得，③
把③代入①整理，得，
所以，动点M的轨迹方程为x=-1（y＜2）。
(Ⅲ)由已知，，
∴，
则直线A′B的方程为，
即，
令x=0，整理得，
即直线A′B与y轴交点P的纵坐标取值范围是（-∞，2）。