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已知抛物线C:x2=y和定点P(1,2),A,B为抛物线C上的两个动点,且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数。
(Ⅰ)求证:直线AB的斜率是定值;
(Ⅱ)若抛物线C在A,B两点处的切线相交于点M,求M的轨迹方程;
(Ⅲ)若A′与A关于y轴成轴对称,求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围.
解:(Ⅰ)设点A(xA,yA),B(xB,yB)(xA≠xB),直线PA的斜率为k(k≠0),则直线PB的斜率为-k,
∴PA的直线方程为y-2=k(x-2),
消y,得
因为点P在曲线C上,所以,由韦达定理,得
,同理

(Ⅱ)设点M(x,y),则由y=2x2,得y′=4x,
所以直线M的方程为:y-yA=4xA(x-xA),①
同理直线MB的方程为:y-yB=4xB(x-xB),②
由①②,得,③
把③代入①整理,得
所以,动点M的轨迹方程为x=-1(y<2)。
(Ⅲ)由已知,

则直线A′B的方程为

令x=0,整理得
即直线A′B与y轴交点P的纵坐标取值范围是(-∞,2)。
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点F到准线的距离为
12

(1)试求抛物线C的方程;
(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N,若MN是C的切线,求t的最小值.

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已知抛物线C:x2=
12
y
和定点P(1,2),A、B为抛物线C上的两个动点,且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数.
(I)求证:直线AB的斜率是定值;
(II)若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点M,求M的轨迹方程;
(III)若A′与A关于y轴成轴对称,求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围.

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已知抛物线C:x2=2py,过点A(0,4)的直线l交抛物线C于M,N两点,且OM⊥ON.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点N作y轴的平行线与直线y=-4相交于点Q,若△MNQ是等腰三角形,求直线MN的方程.K.

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已知抛物线C:x2=ay(a>0),斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,且抛物线上一点M(2
2
 , m) (m>1)
到点F的距离是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)过A,B两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为点Q,求证:
AB
 • 
FQ
=0

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=2my(m>0)和直线l:y=x-m没有公共点(其中m为常数).动点P是直线l上的任意一点,过P点引抛物线C的两条切线,切点分别为M、N,且直线MN恒过点Q(1,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知O点为原点,连接PQ交抛物线C于A、B两点,求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值.

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