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如图,A、C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度,沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度,沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.

(Ⅰ)求A、C两岛之间的直线距离;
(Ⅱ)求∠BAC的正弦值.
(Ⅰ)70海里(Ⅱ)
本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在实际问题中的应用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,利用数学中的工具进行求解,试题的难度一般不大
(1)在△ABC中,由已知,AB=10×5=50,BC=10×3=30,及∠ABC=180°-75°+15°=120可考虑利用据余弦定理求AC
(2)在△ABC中,据正弦定理,得∠BAC的正弦值.
解:(Ⅰ)在△ABC中,由已知,AB=10×5=50,BC=10×3=30,
∠ABC=180°-75°+15°=120°………………………2分
据余弦定理,得
所以AC=70. ………………5分
故A、C两岛之间的直线距离是70海里.…………6分
(Ⅱ)在△ABC中,据正弦定理,得,………………8分
所以.……………11分
故∠BAC的正弦值是.…………………12分
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