Question

已知y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）=f（2-x），如果f（x）在[1，2]上是减函数，那么f（x）在区间[-2，-1]和[3，4]上分别是（　　）

A．增函数和减函数

B．增函数和增函数

C．减函数和减函数

D．减函数和增函数

Answer 1

分析：由偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反及f（x）在[1，2]上是减函数可判断f（x）在区间[-2，-1]上的单调性，根据f（-x）=f（x）及f（x）=f（2-x），可求得函数f（x）的周期，从而可判断f（x）在[3，4]上的单调性．

解答：解：因为f（x）为偶函数，且f（x）在[1，2]上是减函数，
所以f（x）在区间[-2，-1]上是增函数；
由f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），得f（2-x）=f（x）=f（-x），
所以f（x）是以2为周期的函数，
因为f（x）在[1，2]上是减函数，所以f（x）在[3，4]上也为减函数．
故选A．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及周期性，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．