Question

17．设函数f（x）=|x|-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$+1，
（1）证明：函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
（2）解不等式f（x）＞f（2x-1）．

Answer 1

分析 （1）x≥0时，得到f（x）=$x-\frac{1}{1+{x}^{2}}+1$，根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥0，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，证明f（x₁）＞f（x₂），从而得出f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）容易判断f（x）为偶函数，从而由f（x）＞f（2x-1）便可得到f（|x|）＞f（|2x-1|），由（1）便可得出|x|＞|2x-1|，对该不等式两边平方便可得出该不等式的解集，即得出原不等式的解集．

解答 解：（1）证明：x≥0时，$f（x）=x-\frac{1}{1+{x}^{2}}+1$；
设x₁＞x₂≥0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-\frac{1}{1+{{x}_{1}}^{2}}-{x}_{2}+\frac{1}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[1+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}]$；
∵x₁＞x₂≥0；
∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂＞0，$1+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{（1+{x}_{1}）^{2}（1+{{x}_{2}}^{2}）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）f（x）定义域为R，且f（-x）=f（x）；
∴f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增；
∴由f（x）＞f（2x-1）得：f（|x|）＞f（|2x-1|）；
∴|x|＞|2x-1|；
解得$\frac{1}{3}＜x＜1$；
∴原不等式的解集为（$\frac{1}{3}，1$）．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂，偶函数的定义，根据函数的单调性解不等式，以及绝对值不等式的解法．