Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-c，0），点A（-a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，如果F₁到直线AB的距离为

b

7

，则椭圆的离心率e=

1

2

．

Answer 1

分析：设F₁到AB的垂足为D，依题意可知，△ADF₁∽△AOB进而判断出

AF1

AB

=

DF1

OB

，进而表示出左焦点F₁到直线AB的距离化简整理求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．

解答：解：设F₁到AB的垂足为D，
∵∠F₁DA=∠BOA=90°，∠A为公共角
∴△ADF₁∽△AOB
∴

AF1

AB

=

DF1

OB

∴

a-c

a2+b2

=

b 7

b

=

7

7

；
∵b²=a²-c²
∴

(a-c)2

2a2-c2

=

1

7

化简得到5a²-14ac+8c²=0
解得a=2c 或a=

4c

5

（舍去），
∴e=

c

a

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用左焦点F₁到直线AB的距离建立等式求得答案．