Question

（2013•浙江二模）已知函数f(x)=

x+ 1 x ，x＞0 x3+9，x≤0

，若关于x的方程f（x²+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（　　）

A．（2，8]

B．（2，9]

C．（8，9]

D．（8，9）

Answer 1

分析：令t=x²+2x，则t≥-1，f（t）=

t+ 1 t ， t＞0 t3+9 ，-1≤t≤0

．由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．

解答：解：令t=x²+2x=（x+1）²-1，则t≥-1，
函数f（t）=

t+ 1 t ， t＞0 t3+9 ，-1≤t≤0

．
由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，
且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：
由于当t=-1时，f（t）=8，此时，t=-1对应的x值只有一个x=-1，不满足条件，故a的取值范围是 （8，9]，
故选C．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．