Question

已知点Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线L过点M（1，0）且交曲线C于
A、B两点（A、B不重合），点P满足

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)且

EP

•

AB

=0，其中点E的坐标为（x₀，0），试求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出点Q，根据两点间的距离公式，依据题意建立等式求得x和y的关系式，整理可知点Q的轨迹抛物线的一部分．
（Ⅱ）设直线L的方程，及A，B的坐标，把直线和抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而建立不等式组，求得k的范围，进而根据

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)可知，点P为线段AB的中点，P的坐标可知，由

EP

•

AB

=0可知，EP⊥AB，分别表示出二者的斜率，其乘积为-1求得x₀的关于k的表达式，根据k的范围确定x₀的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设点Q（x，y）（x＞-3），
由题意有x+3+

(x+1)2+y2

=4，
整理得y²=-4x，x∈（-3，0]
∴动点Q的轨迹C为以F（-1，0）为焦点，
坐标原点为顶点的抛物线在直线x=-3右侧的部分．

（Ⅱ）由题意可设直线L的方程为y=k（x-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

y=-4x y=k(x-1)

，
得k²x²+（4-2k²）x+k²=0x1+x2=

2k2-4

k2

，x1x2=1，
由题意

(4-2k2)2-4k4＞0 (x1+3)(x2+3)＞0 (x1+3)+(x2+3)＞0

解之得

3

4

＜k2＜1
由

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)可知，点P为线段AB的中点，∴P(

k2-2

k2

，-

2

k

)．
由

EP

•

AB

=0可知，EP⊥AB，∴

2 k

x0- k2-2 k2

•k=-1，
整理得，x0=-

2

k2

-1
∴x₀的取值范围是(-

11

3

，-3)

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题时应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．