Question

已知函数f(x)=x²+2x+alnx.

(1)若函数f(x)在区间(0，1］上恒为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)当t≥1时，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求实数a的取值范围.

(文)已知函数f(x)=2x³-3(a-1)x²+4x+6a(a∈R),g(x)=4x+6.

(1)若函数y=f(x)的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；

(2)若两个函数图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

Answer 1

答案：(理)解:(1)由f(x)=x²+2x+alnx求导数得f′(x)=2x+2+.f(x)在(0，1］上恒单调，只需f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0，1］上恒成立.只需2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0恒成立,即只需a≥-(2x²+2x)或a≤-(2x²+2x)在(0，1］上恒成立.又记g(x)=-2x(x+1),0＜x≤1.可知-4≤g(x)＜0.∴所求a≥0或a≤-4.6分

(2)∵f(x)=x²+2x+alnx,由f(2t-1)≥2f(t)-3,得(2t-1)²+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2(t²+2t+alnt)-3.

化简为2(t-1)²≥a·ln.①

∵t＞1时，有t²＞2t-1,则ln＞0.∴a≤.②

构造函数m(x)=ln(1+x)-x(x＞-1)，求导数得m′(x)=.

则m(x)在x=0时取得极大值.同时也是最大值.

故m(x)≤m(0).从而ln(1+x)≤x在x＞-1上恒成立.

∴③

在t＞1时恒成立，而t=1时③式取等号.∴ln≤(t-1)²④

在t≥1时恒成立.因此由②④可知实数a的取值范围为a≤2.

(文)解：(1)y=f(x)=2x³-3(a-1)x²+4x+6a求导数得f′(x)=6x²-6(a-1)x+4≥

(a-1)²=1.∴(a-1)²=2,故a=±+1.

(2)∵g(x)=4x+6的图象是一直线，因此两个函数图象的公共点的个数取决于方程f(x)=g(x)的解的个数，∴只需研究函数m(x)=f(x)-g(x)图象与x轴的关系.由m(x)=2x³-3(a-1)x²+6(a-1)求导数得m′(x)=6x²-6(a-1)x=6x［x-(a-1)］.

①在a=1时，m′(x)=6x²≥0,m(x)在R上单调递增,则m(x)和x轴只有一个交点.

②在a≠1时，m′(x)=0有两根x₁=0,x₂=a-1,即为y=m(x)的两个极值点.

m(x₁)=m(0)=6(a-1),m(x₂)=m(a-1)=-(a-1)³+6(a-1)=(a-1)［6-(a-1)²］,

y=m(x)和x轴只有一个交点，则需m(x₁)m(x₂)＞0.∴6(a-1)(a-1)［6-(a-1)²］＞0(a≠1).∴(a-1)²-6＜0.有1-＜a＜1+，且a≠1.由①②可知所求a的取值范围为(1-,1+).