Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式．
（2）f（x）的最小值不大于-3a，求实数a的取值范围．
（3）a如何取值时，函数y=f（x）-（x²-ax+m）（|m|＞1）存在零点，并求出零点．

Answer 1

分析：（1）利用方程有两个相等的实根，得到对应的判别式为0．（2）由求出函数的最小值，然后解不等式即可．（3）利用函数y的图象和函数零点的定义进行求值．

解答：解：∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴ax²+（b-2）x+c＜0的解集为（-1，2）．…（1分）
∴a＞0，且方程ax²+（b-2）x+c＜0的两根为-1和2．
即

a-b+2+c=0 4a+2b-4+c=0

，所以

b=2-a c=-2a

，
所以f（x）=ax²+（2-a）x-2a，（a＞0）…（2分）  
 （1）∵方程f（x）+3a-0有两个相等的实根，即ax²+（2-a）x+a=0有两个相等的实根
∴△=（2-a）²-4a²=0，即3a²+4a-4=0，
∴a=-2或a=

2

3

  …（3分）
∵a＞0，∴a=

2

3

，∴f(x)=

2

3

x2+

4

3

x-

4

3

            …（4分）
（2）f（x）=ax²+（2-a）x-2a=a(x+

2-a

2a

)2+

-8a2-(2-a)2

4a

∵a＞0，∴f（x）的最小值为

-8a2-(2-a)2

4a

，…（5分）
则

-8a2-(2-a)2

4a

≤-3a，即3a²+4a-4≤0，即-2≤a≤

2

3

，…（7分）
∵a＞0，∴0＜a≤

2

3

           …（8分）
（3）由y=f（x）-（x²-ax+m）（|m|＞1），得（a-1）x²+2x-（2a+m）=0   （※）
①当a=1时，方程（※） 有一解x=

m

2

+1，
函数=f（x）-（x²-ax+m）有一零点x=

m

2

+1，…（9分）
②当a≠1时，△=4[2a²+（m-2）a+（1-m）]
方程（※）有一解则△=4[2a²+（m-2）a+（1-m）]=0，令△1=4m2+4m-4≥0
得m≥2

2

-2或m≤-2

2

-2，∵|m|＞1，即m＞1或m＜-1，
 i）当m＞1，a=

2-m+ 4m2+4m-4

4

时，（a=

2-m- 4m2+4m-4

4

（负根舍去）），
函数y=f（x）-（x²-ax+m）有一零点x=

1

1-a

．…（10分）
ii） 当m≤-2

2

-2时，a的两根都为正数∴当a=

2-m+ 4m2+4m-4

4

或a=

2-m- 4m2+4m-4

4

时，函数y=f（x）-（x²-ax+m）有一零点x=

1

1-a

．（11分）
ⅲ） 当-2

2

-2＜m＜-1时，△1=4m2+4m-4＜0，∴△＞0
③方程（※）有二解，所以△=4[2a²+（m-2）a+（1-m）]＞0，
1）若m＞1，△1=4m2+4m-4＞0，a＞

2-m+ 4m2+4m-4

4

时，
（a=

2-m- 4m2+4m-4

4

（负根舍去）），函数y=f（x）-（x²-ax+m）
有两个零点x1，2=

-2± 4[2a2+(m-2)a+(1-m)]

2(a-1)

=

-1± 2a2+(m-2)a+(1-m)

a-1

； …（12分）
2）当m＜-2

2

-2时，△1=4m2+4m-4＞0，a的两根都为正数，
∴当a＞

2-m+ 4m2+4m-4

4

或0＜a＜

2-m- 4m2+4m-4

4

时，
函数y=f（x）-（x²-ax+m）有两个零点x1，2=

-1± 2a2+(m-2)a+(1-m)

a-1

．…（13分）
ⅲ） 当-2

2

-2≤m＜-1时，△1=4m2+4m-4≤0，∴△＞0恒成立，
∴a取大于0（a≠1）的任意数，函数y=f（x）-（x²-ax+m）有两个零点x1，2=

-1± 2a2+(m-2)a+(1-m)

a-1

             …（14分）

点评：本题主要考查二次函数的表达式的求法，二次函数的性质以及与二次函数有关的方程零点问题，综合性较强，运算量较大，考查学生分析问题的能力．