Question

【题目】如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= CD=1．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为 ，求线段PD的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设PC交DE于点N，连结MN，

在△PAC中，∵M，N分别是PA，PC的中点，

∴MN∥AC，

又AC平面MDE，MN平面MDE，

∴AC∥平面MDE

（2）解：设PD=a，（a＞0），

∵四边形PDCE是矩形，四边形ABCD是梯形，

平面PDCE⊥平面ABCD，

∴PD⊥平面ABCD，

又∵∠BAD=∠ADC=90°，

以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），

，

平面PAD的法向量 =（0，1，0），

设平面PBC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=a，得 =（a，a，2），

∵平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为 ，

∴cos = = = ，

解得a= ．

∴线段PD的长度为 ．

【解析】（1）设PC交DE于点N，连结MN，MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．（2）设PD=a，（a＞0），推导出PD⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PD的长度．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．