Question

请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分．
（1）已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为，，则曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最远距离为________．
（2）设a=，b=p，c=x+y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是________．

Answer 1

曲线C₁极坐标方程为，即ρ=2sinθ，ρ²=2ρsinθ
化为直角坐标方程为x²+y²-2y=0．即x2+（y-1）2=1．
表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆．
C₂的极坐标方程为，，即ρ（cosθ+sinθ）+1=0，
化为普通方程为x+y+1=0，表示一条直线
如图，圆心到直线距离d=|CQ|=，曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最远距离为|PQ|=d+r=+1
（2）对于正实数x，y，由于a=，c=x+y≥2，b=p，且三角形任意两边之和大于第三边，所以+2 ＞b=p，且p+＞2，p+2＞，．
解得 1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），
故答案为：+1，（1，3）．
分析：（1）先将曲线的极坐标方程方程化为普通方程，曲线C1的普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1．表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆．曲线C2的普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．利用直线和圆的位置关系求解．
（2）由基本不等式可得a≥，c≥2 ，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2 ＞b=p，且p+＞2，p+2＞，由此求得实数p的取值范围．
点评：（1）本题以曲线参数方程出发，考查了极坐标方程、普通方程间的互化，直线和圆的位置关系．（2）本题主要考查基本不等式的应用，注意不等式的使用条件，以及三角形中任意两边之和大于第三边，属于中档题．